Υπολογιστής Black-Scholes

Τι είναι ένας υπολογιστής τιμολόγησης options Black-Scholes;

Ένας υπολογιστής τιμολόγησης options Black-Scholes είναι ένα εργαλείο που υπολογίζει τη δίκαιη θεωρητική αξία ενός ευρωπαϊκού call και put option από πέντε εισόδους, χρησιμοποιώντας το μοντέλο Black-Scholes: την τιμή spot του υποκείμενου, την τιμή εξάσκησης, τον χρόνο έως τη λήξη, τη μεταβλητότητα και το επιτόκιο άνευ κινδύνου. Το μοντέλο Black-Scholes είναι ο κλειστός μαθηματικός τύπος που μετατρέπει αυτές τις εισόδους σε μία θεωρητική τιμή, την αξία που θα έπρεπε να έχει σήμερα ένα option σύμφωνα με τις παραδοχές του μοντέλου. Δημοσιεύτηκε το 1973 από τους Fischer Black και Myron Scholes στην εργασία τους «The Pricing of Options and Corporate Liabilities», με το πλαίσιο να επεκτείνεται την ίδια χρονιά από τον Robert Merton, μια συνεισφορά που αναγνωρίστηκε με το Βραβείο Νόμπελ Οικονομικών Επιστημών του 1997, το οποίο απονεμήθηκε στους Scholes και Merton, καθώς ο Black είχε πεθάνει το 1995. Η εκδοχή που προσθέτει συνεχή μερισματική απόδοση ονομάζεται συχνά μοντέλο Black-Scholes-Merton. Μαζί με τις δύο τιμές, ο υπολογιστής επιστρέφει τα πέντε option Greeks, τους δείκτες ευαισθησίας που δείχνουν πώς αντιδρά η τιμή όταν κινείται κάθε είσοδος, γι' αυτό ένα μόνο ευρωπαϊκό συμβόλαιο που χρησιμοποιείται στο trading σε options παράγει επτά αποτελέσματα σε ένα πέρασμα αντί για ένα.

Γιατί είναι σημαντικός ο υπολογιστής Black-Scholes για το trading;

Ο υπολογιστής Black-Scholes είναι σημαντικός για το trading επειδή δίνει σε έναν trader τη δίκαιη θεωρητική αξία και την ευαισθησία κινδύνου ενός option πριν το αγοράσει ή το πουλήσει, μετατρέποντας ένα τίμημα αγοράς σε κάτι που μπορείτε να κρίνετε αντί να το αποδεχτείτε. Η τιμή ενός option δεν είναι προφανής μόνο από το υποκείμενο: συνδυάζει το spot, το strike, τον υπολειπόμενο χρόνο, τη μεταβλητότητα και το επιτόκιο σε έναν αριθμό, και χωρίς ένα μοντέλο δεν υπάρχει τρόπος να ξέρετε αν το τίμημα στην οθόνη είναι φθηνό ή ακριβό σε σχέση με τη δίκαιη αξία. Τιμολογώντας το συμβόλαιο από αυτές τις πέντε εισόδους, ο υπολογιστής απαντά στο ερώτημα που μετράει τη στιγμή της απόφασης, δηλαδή αν η αγορά ζητά δίκαιη τιμή για το ρίσκο που πρόκειται να αναλάβετε. Οι traders καταφεύγουν σε αυτόν πριν τοποθετηθεί η εντολή: για να συγκρίνουν μια ζωντανή τιμή αγοράς με τη θεωρητική τιμή, να δουν πώς θα αντιδρούσε η αξία αν κινούνταν η μεταβλητότητα, ο χρόνος ή τα επιτόκια, και να κατανοήσουν τα Greeks που θα καθορίσουν τη θέση αφού την αποκτήσουν. Το να διαβάζετε πρώτα τη δίκαιη αξία είναι η ίδια συνήθεια συνειδητοποίησης κινδύνου που απαιτεί κάθε μοχλευμένο εργαλείο του υπεύθυνου online trading.

Πώς χρησιμοποιείτε τον υπολογιστή Black-Scholes;

Για να χρησιμοποιήσετε τον υπολογιστή Black-Scholes, εισάγετε την τιμή spot, την τιμή εξάσκησης, τις ημέρες έως τη λήξη, τη μεταβλητότητα και το επιτόκιο άνευ κινδύνου, και το εργαλείο επιστρέφει τη θεωρητική τιμή call και put μαζί με τα πέντε Greeks.

Τα βήματα για να χρησιμοποιήσετε τον υπολογιστή Black-Scholes αναφέρονται παρακάτω:

1. Εισάγετε την τιμή spot. Αυτή είναι η τρέχουσα τιμή αγοράς της υποκείμενης μετοχής ή δείκτη, που εμφανίζεται στον τύπο ως S.
2. Εισάγετε την τιμή εξάσκησης (strike). Αυτή είναι η τιμή στην οποία μπορεί να εξασκηθεί το option, εμφανίζεται ως K, και είναι το σημείο αναφοράς με το οποίο μετριέται το spot.
3. Ορίστε τις ημέρες έως τη λήξη. Αυτός είναι ο αριθμός ημερολογιακών ημερών που απομένουν έως τη λήξη του option, τον οποίο το εργαλείο μετατρέπει σε κλάσμα έτους.
4. Εισάγετε τη μεταβλητότητα. Αυτή είναι η αναμενόμενη ετησιοποιημένη μεταβλητότητα του υποκείμενου ως ποσοστό, συνήθως η implied volatility που τιμολογεί η αγορά.
5. Εισάγετε το επιτόκιο άνευ κινδύνου. Αυτό είναι το ετήσιο επιτόκιο ενός ασφαλούς περιουσιακού στοιχείου, όπως ενός βραχυπρόθεσμου κρατικού ομολόγου, που εισάγεται ως ποσοστό.

Στις Προηγμένες επιλογές, μπορείτε να προσθέσετε μερισματική απόδοση για μια μετοχή ή δείκτη που πληρώνει μέρισμα, να αλλάξετε τη βάση καταμέτρησης ημερών ανάμεσα σε 365 ημερολογιακές ημέρες και 252 ημέρες συναλλαγών, και να ορίσετε το νόμισμα· δεν υπάρχει διακόπτης call ή put επειδή το εργαλείο τιμολογεί και τα δύο ταυτόχρονα και επανυπολογίζει κάθε αποτέλεσμα όταν πατάτε Υπολογισμός.

Ποιο τύπο χρησιμοποιεί ο υπολογιστής Black-Scholes;

Ο υπολογιστής Black-Scholes χρησιμοποιεί τον τύπο Black-Scholes, ο οποίος τιμολογεί ένα call και ένα put από δύο ενδιάμεσους όρους, τους d1 και d2, που περνούν μέσα από τη σωρευτική κανονική κατανομή και συνδυάζονται με το προεξοφλημένο spot και strike.

Σε αυτούς τους τύπους, το S είναι η τιμή spot, το K είναι η τιμή εξάσκησης, το T είναι ο χρόνος έως τη λήξη σε έτη (ημέρες διαιρεμένες με τη βάση), το σ (σίγμα) είναι η μεταβλητότητα, το r είναι το επιτόκιο άνευ κινδύνου, και το q είναι η μερισματική απόδοση· το N() είναι η σωρευτική κανονική κατανομή, οπότε το N(d2) είναι χονδρικά η ουδέτερη ως προς τον κίνδυνο πιθανότητα το call να λήξει in-the-money. Αντικαθιστώντας στην περίπτωση at-the-money ενός έτους, d1 = [ln(100/100) + (0,05 − 0 + 0,20²/2) × 1] / (0,20 × √1) = 0,35. Επειδή ένα πρόγραμμα περιήγησης δεν έχει πίνακες πιθανοτήτων, ο υπολογιστής υπολογίζει το N(d) με μια τυπική πολυωνυμική προσέγγιση (Abramowitz and Stegun 26.2.17), με ακρίβεια καλύτερη από ένα μέρος στα δέκα εκατομμύρια. Ο τύπος ισχύει μόνο για ένα ευρωπαϊκό option και υποθέτει ότι η μεταβλητότητα και το επιτόκιο παραμένουν σταθερά για όλη τη διάρκεια ζωής του option.

Ποιο είναι ένα παράδειγμα υπολογισμού Black-Scholes;

Ένα παράδειγμα υπολογισμού Black-Scholes είναι ένα at-the-money call διάρκειας ενός έτους που αξίζει 10,45 $, όπως υπολογίζεται παρακάτω:

1. d1 και d2. Με spot 100 $, strike 100 $, ένα έτος, μεταβλητότητα 20% και επιτόκιο 5%, T = 1 και σ√T = 0,20, οπότε d1 = (0 + (0,05 + 0,02) × 1) / 0,20 = 0,35 και d2 = 0,35 − 0,20 = 0,15.
2. Κανονικές πιθανότητες. N(0,35) = 0,6368 και N(0,15) = 0,5596, και ο συντελεστής προεξόφλησης είναι e^(−0,05) = 0,9512.
3. Τιμή call = 100 × 0,6368 − 100 × 0,9512 × 0,5596 = 63,68 − 53,23 = 10,45 $.
4. Τιμή put = 5,57 $, που προκύπτει από την ισοτιμία put-call, Call − Put = S × e^(−qT) − K × e^(−rT).

Το σενάριο είναι ένα ευρωπαϊκό option με τιμή εξάσκησης στο χρήμα και χωρίς μέρισμα, και ο υπολογιστής επιστρέφει 10,45 $ για το call και 5,57 $ για το put, τους ίδιους δύο αριθμούς που παράγει το παράδειγμα με το χέρι.

Πώς διαβάζετε το αποτέλεσμα του υπολογιστή Black-Scholes;

Διαβάζετε το αποτέλεσμα του υπολογιστή Black-Scholes κοιτάζοντας την τιμή call και put δίπλα δίπλα και ελέγχοντας έπειτα το moneyness, τον λόγο spot προς strike (S/K), και το Delta, τα οποία μαζί σας λένε πού βρίσκεται το option και πώς θα συμπεριφερθεί. Το moneyness αποφασίζει πόσο από την τιμή είναι πραγματική, εγγενής αξία και πόσο είναι αξία χρόνου, ενώ το Delta σας λέει πόσο στενά ακολουθεί το option το υποκείμενο.

Στο παράδειγμα at-the-money, το Delta +0,6368 σημαίνει ότι το call κερδίζει περίπου 0,64 $ για κάθε 1 $ που ανεβαίνει το υποκείμενο, το χαρακτηριστικό γνώρισμα ενός option με τιμή εξάσκησης κοντά στο χρήμα. Ανεξάρτητα από το moneyness, μία γραμμή ισχύει πάντα: το Theta κοστίζει χρήματα στον αγοραστή κάθε μέρα, περίπου 0,0176 $ την ημέρα σε αυτό το call, επειδή ο χρόνος δουλεύει ενάντια σε όποιον κατέχει το option. Διαβάστε το αποτέλεσμα ως ένα στιγμιότυπο δίκαιης αξίας και συμπεριφοράς τώρα, και μετά σταθμίστε το έναντι της τιμής αγοράς πριν κάνετε τη συναλλαγή.

Πώς επηρεάζει η μεταβλητότητα έναν υπολογισμό Black-Scholes;

Η μεταβλητότητα επηρεάζει άμεσα έναν υπολογισμό Black-Scholes επειδή υψηλότερη μεταβλητότητα ανεβάζει τόσο την τιμή call όσο και την τιμή put, και είναι η είσοδος στην οποία η τιμή είναι πιο ευαίσθητη, όπως μετριέται από το Greek Vega. Περισσότερη μεταβλητότητα σημαίνει ευρύτερο εύρος πιθανών εκβάσεων για το υποκείμενο, άρα μεγαλύτερη πιθανότητα το option να λήξει in-the-money, κάτι που αξίζει περισσότερο για τον κάτοχο είτε ενός call είτε ενός put. Είναι επίσης η μόνη είσοδος που δεν μπορείτε απλώς να αναζητήσετε: το spot, το strike, ο χρόνος και το επιτόκιο είναι όλα παρατηρήσιμα, αλλά η μεταβλητότητα είναι πρόβλεψη. Οι traders συνήθως χρησιμοποιούν την implied volatility που τιμολογεί ήδη η αγορά για αυτό το option, αντί για την ιστορική μεταβλητότητα που έχει δείξει το υποκείμενο στο παρελθόν, επειδή η implied volatility αντικατοπτρίζει αυτό που περιμένει η αγορά στο μέλλον. Αυτό κάνει τη μεταβλητότητα την κρίσιμη είσοδο της τιμολόγησης options: μια μικρή αλλαγή στον αριθμό που εισάγετε μετακινεί τη θεωρητική τιμή περισσότερο από μια ισοδύναμη αλλαγή σε οποιοδήποτε άλλο πεδίο, οπότε μια τίμια εκτίμηση της μεταβλητότητας της αγοράς έχει μεγαλύτερη σημασία εδώ από οπουδήποτε αλλού στο μοντέλο.

Ποιοι είναι οι περιορισμοί του υπολογιστή Black-Scholes;

Ο βασικός περιορισμός του υπολογιστή Black-Scholes είναι ότι παράγει μια θεωρητική εκτίμηση, όχι τιμή αγοράς, και αυτή η εκτίμηση είναι τόσο καλή όσο η μεταβλητότητα που του δίνετε. Το μοντέλο τιμολογεί ένα καθαρό, εξιδανικευμένο option, οπότε αρκετά χαρακτηριστικά μιας πραγματικής αγοράς μένουν έξω από αυτό. Αγνοεί το bid-ask spread, οπότε ποτέ δεν διαπραγματεύεστε στην ενιαία δίκαιη αξία που αναφέρει. Υποθέτει σταθερή μεταβλητότητα σε κάθε strike, κάτι που οι πραγματικές αγορές διαψεύδουν μέσω του volatility skew ή smile, όπου η implied volatility διαφέρει ανά strike και λήξη, μια καλά τεκμηριωμένη απόκλιση που καλύπτεται στο βιβλίο του Hull «Options, Futures, and Other Derivatives». Αντιμετωπίζει τα μερίσματα ως ομαλή συνεχή απόδοση αντί για τα διακριτά μερίσματα που πληρώνονται πράγματι σε συγκεκριμένες ημερομηνίες. Και τιμολογεί μόνο ευρωπαϊκά options, αυτά που εξασκούνται μόνο κατά τη λήξη, οπότε δεν αποτυπώνει την αξία πρόωρης εξάσκησης των αμερικανικών options που είναι κοινά στις μεμονωμένες αμερικανικές μετοχές, τα οποία τιμολογούνται αντ' αυτού με διωνυμικά δέντρα (binomial trees), τη μέθοδο που εισήγαγαν οι Cox, Ross και Rubinstein το 1979. Υποθέτει επίσης σταθερό επιτόκιο και δεν λέει τίποτα για το αν μια συναλλαγή είναι καλή ιδέα. Αντιμετωπίστε το αποτέλεσμα ως μια καλά τεκμηριωμένη τιμή αναφοράς για να συγκρίνετε μια τιμή αγοράς, όχι ως εγγύηση για το τι θα πληρώσετε ή θα εισπράξετε, και θυμηθείτε ότι είναι εκπαιδευτική πληροφορία, όχι επενδυτική συμβουλή.

Πώς υπολογίζει ο υπολογιστής Black-Scholes τα πέντε option Greeks;

Ο υπολογιστής Black-Scholes υπολογίζει τα πέντε option Greeks, Delta, Gamma, Theta, Vega και Rho, καθένα από τα οποία μετρά πώς αντιδρά η τιμή του option όταν κινείται μία είσοδος ενώ οι υπόλοιπες παραμένουν σταθερές. Είναι το χαρακτηριστικό γνώρισμα πολλαπλών αποτελεσμάτων του υπολογιστή, και το να τα διαβάζετε σας λέει πώς θα συμπεριφερθεί η θέση μόλις την αποκτήσετε.

Διαβάστε τα ως ευαισθησίες. Το Delta κοντά στο 0,5 σηματοδοτεί ένα at-the-money option και ανεβαίνει προς το 1 καθώς ένα call κινείται in-the-money· το Gamma μετρά πόσο γρήγορα μετατοπίζεται αυτό το Delta, οπότε είναι μεγαλύτερο κοντά στο strike και κοντά στη λήξη. Το Theta είναι το καθημερινό κόστος της φθοράς χρόνου, που επιταχύνεται όσο πλησιάζει η λήξη, ενώ το Vega δείχνει ότι μια άνοδος 1 μονάδας στην implied volatility προσθέτει περίπου 0,38 $ σε αυτό το option, επιβεβαιώνοντας τη μεταβλητότητα ως τον μεγαλύτερο μοχλό στην τιμή. Το Rho είναι συνήθως το μικρότερο από τα πέντε και έχει μεγαλύτερη σημασία για options μεγάλης διάρκειας. Το Gamma και το Vega είναι ίδια για το call και το put, ενώ το Delta, το Theta και το Rho έχουν αντίθετα πρόσημα σε κάθε σκέλος, γι' αυτό ο υπολογιστής δείχνει και τα δύο.

Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα σε έναν υπολογισμό Black-Scholes και έναν υπολογισμό κέρδους options;

Ένας υπολογισμός Black-Scholes διαφέρει από έναν υπολογισμό κέρδους options ως προς το τι μετρά και πότε: ένας υπολογισμός Black-Scholes δίνει τη δίκαιη θεωρητική αξία ενός option τώρα, πριν τη λήξη, καθοριζόμενη από τη μεταβλητότητα, τον χρόνο και τα επιτόκια, ενώ ένας υπολογισμός κέρδους options δίνει το κέρδος ή τη ζημία μιας θέσης στη λήξη, καθοριζόμενο μόνο από το πού καταλήγει το υποκείμενο σε σχέση με το strike.

Η πρακτική διαφορά είναι ότι τα δύο εργαλεία απαντούν σε διαφορετικά ερωτήματα και επιστρέφουν διαφορετικούς αριθμούς για το ίδιο option. Το Black-Scholes σας λέει πόσο θα έπρεπε να αξίζει το συμβόλαιο σήμερα ώστε να κρίνετε το τίμημά του, ενώ ένας υπολογισμός κέρδους options σας λέει τι θα κέρδιζε ή θα έχανε μια θέση αν το υποκείμενο έφτανε σε συγκεκριμένη τιμή στη λήξη. Χρησιμοποιείτε αυτόν τον υπολογιστή για να τιμολογήσετε το option πριν ανοίξετε τη συναλλαγή, και έναν υπολογιστή κέρδους για να χαρτογραφήσετε την απόδοση όταν σταθμίζετε την έξοδο.

Ποιοι υπολογιστές σχετίζονται με τον υπολογιστή Black-Scholes;

Οι υπολογιστές που σχετίζονται με τον υπολογιστή Black-Scholes βρίσκονται στην ίδια ροή εργασίας τιμολόγησης και κέρδους options, από τη δίκαιη αξία ενός συμβολαίου πριν τη λήξη έως το κέρδος ή τη ζημία που αφήνει μόλις κλείσει μια θέση.

Οι υπολογιστές που σχετίζονται με τον υπολογιστή Black-Scholes αναφέρονται παρακάτω:

• Υπολογιστής κέρδους options: υπολογίζει το κέρδος ή τη ζημία στη λήξη μιας θέσης options, την πλευρά της απόδοσης που αυτό το εργαλείο τιμολόγησης αφήνει έξω.
• Υπολογιστής covered call: μοντελοποιεί τη στρατηγική εισοδήματος του να κρατάτε το υποκείμενο και να πουλάτε ένα call εναντίον του, ένα συνηθισμένο πρώτο βήμα στα options.
• Υπολογιστής κέρδους μετοχών: υπολογίζει το κέρδος ή τη ζημία στις ίδιες τις υποκείμενες μετοχές, χωρίς τη μόχλευση που προσθέτει ένα option.
• Υπολογιστής ποσοστιαίου κέρδους: εκφράζει ένα αποτέλεσμα ως ποσοστιαία απόδοση, χρήσιμο για να συγκρίνετε την έκβαση ενός option με το premium που ρισκάρατε.

FAQ

Αυτό το εργαλείο είναι εκπαιδευτικό, όχι οικονομική συμβουλή. Το μοντέλο Black-Scholes δίνει θεωρητική τιμή για ένα ευρωπαϊκό option, και οι πραγματικές τιμές αγοράς διαφέρουν λόγω του bid-ask spread, του volatility skew, των διακριτών μερισμάτων και της πρόωρης εξάσκησης. Το trading σε options εμπεριέχει υψηλό κίνδυνο απώλειας χρημάτων, συμπεριλαμβανομένου ολόκληρου του premium που πληρώνετε.